Обзор математических методов для исследования электродвигателей

Электродвигатели исследуют при определенной их идеализации и принятии ряда допущений. Анализ тем проще, чем больше принято допущений. Однако при этом и погрешности возрастают. Поэтому правильный выбор допущений, их обоснование и оценка погрешностей являются первостепенной задачей при исследованиях. Причем выбор того или иного математического аппарата в значительной мере зависит от принятых допущений.

До появления преобразований двигателей к многообмоточным трансформаторам, т. е. уравнений Парка—Горева, даже в простейших случаях приходилось использовать дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Решение таких уравнений в общем виде было связано с большими трудностями. Лишь при значительных упрощениях для ограниченного круга задач удавалось свести такие уравнения к уравнениям Матье, решение которых разработано. Все это сильно затрудняло исследование сложных процессов в двигателях и ограничивало круг вопросов, доступных для аналитического анализа. В настоящее время такие задачи могут быть решены с помощью электронно-вычислительной техники, однако при условии, что уравнения записаны в численной форме, т. е. для конкретных электродвигателей.

Появление в 1930-x годах нашего столетия уравнений Парка— Горева в значительной мере сняло эти затруднения, так как при аналитическом исследовании большой и важной для практики группы задач удавалось в исходных дифференциальных уравнениях исключить периодические коэффициенты. В частности, симметричные переходные режимы в электродвигателях при постоянной частоте вращения и постоянных параметрах описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для исследования таких режимов используется классический метод решения уравнений. Кроме того, широко распространен операторный метод. Последний позволяет вводить операторные коэффициенты и параметры, а также получать решение неоднородных дифференциальных уравнений в один прием. Используя операторные параметры, можно осуществить аналитическое исследование сложных процессов в машинах, используя данные по типовым режимам. В этом случае задача в конечном счете сводится к решению интегральных уравнений Вольтерра первого или второго рода. Кроме того, использование операторных параметров позволяет существенно упростить аналитическое исследование, если допустимо применение теоремы о постоянстве потокосцеплений.

В этом случае существенно снижается наивысшая степень операторного уравнения, т. е. порядок исходного дифференциального уравнения, что, естественно, упрощает решение таких уравнений.

При переменной частоте вращения двигателя возможны два случая. Если частота вращения задана как некоторая функция от времени, то дифференциальные уравнения остаются линейными, но с переменными коэффициентами. В этом случае решение получается в форме интегралов типа интегралов Френеля с комплексным аргументом (глава двенадцатая). Если же частота вращения не задана, а должна определяться из решения уравнений динамики движения двигателя, а также при учете изменения параматров, то система дифференциальных уравнений становится нелинейной. В этом случае приходится использовать те или иные методы линеаризации нелинейных уравнений, т. е., по существу, находить приближенные способы их решения. Наконец, широко должны использоваться ЭВМ, правда пока для решения уравнений в численной форме, т. е. при рассмотрении конкретных электродвигателей с заданными параметрами.

Исходные дифференциальные уравнения могут быть записаны в развернутом виде или в матричной форме. В последнем случае сокращается запись уравнений, а также облегчается решение задач в обобщенном виде. В частности, уравнения в матричной форме целесообразно использовать при рассмотрении сложных электроэнергетических систем, в которых содержится большое число синхронных, асинхронных и других типов электродвигателей.

За последнее время все более широкое распространение для исследования процессов в двигателях получили интегральные уравнения. Эти уравнения являются наиболее разработанными после обыкновенных дифференциальных уравнений и операторного метода. Имеется обширная литература, посвященная интегральным уравнениям. Как увидим ниже, наиболее удобно использовать уравнения Вольтерра, а в ряде случаев — уравнения Фредгольма. Однако по ряду причин интегральные уравнения еще не получили достаточно широкого распространения при исследованиях переходных процессов в электродвигателях и электроэнергетических системах.

Линейные дифференциальные уравнения любого порядка могут быть всегда сведены к линейным интегральным уравнениям Вольтерра второго или первого рода. Система указанных уравнений приводится к одному либо к системе интегральных уравнений. Последние с заданными непрерывными функциями всегда имеют единственное решение, которое является регулярным. Решение же даже обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, как правило, связано со значительными трудностями. В частности, иногда приходится применять разложение в степенные ряды, которые имеют плохую сходимость.

Следует отметить также, что при использовании интегральных уравнений можно получить приближенные решения с заданной точностью, что оказывается вполне приемлемым для многих инженерных расчетов. При использовании интегральных уравнений можно оценить влияние отдельных членов дифференциальных уравнений на точность решения, благодаря чему появляется возможность упрощения последних. Это свойство особенно ценно при аналитических исследованиях сложных переходных процессов в двигателях.

Наконец, при использовании метода расчетов по данным типовых переходных процессов необходимость в использовании интегральных уравнений Вольтерра вытекает из сути самого метода. Применение теоремы свертывания приводит к уравнениям Вольтерра второго или первого рода. Этот метод исследования достаточно перспективный, что должно повлечь за собой более широкое использование интегральных уравнений.

Для анализа сложных явлений в воздушном зазоре, при расчете параметров в крупных электродвигателях с учетом реального распределения магнитных полей расширяется использование уравнений Максвелла. Здесь используются дифференциальные уравнения математической физики в частных производных. На основе указанных уравнений анализируются электромагнитные поля в электродвигателях и обосновывается их физическое моделирование.

Таким образом, в зависимости от сложности поставленной задачи и ее специфики должен быть выбран оптимальный метод аналитического решения и, в частности, выбран тот или иной математический аппарат. В данной книге будут использованы почти все перечисленные выше математические методы.